Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF= ，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求證：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD與平面DEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=1，BC=2，∠CBA= ，

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos =1+4﹣2×2×1× =3，

則AC= ，滿足BC2=AB2+AC2，

即△CAB是直角三角形，

則AC⊥AB，

∵平面ABCD⊥平面ABEF，AC平面ABCD，

∴AC⊥平面ABEF；

（2）解：建立以A為坐標原點，AB，AF，AC分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：∵BE=2，AF=3，

∴C（0，0， ），B（1，0，0），E（1，2，0），F（0，3，0），D（﹣1，0， ），

則平面ABCD的一個法向量為 =（0，1，0），

設平面DEF的一個法向量為 =（x，y，z），

則 =（1.3．﹣ ）， =（﹣1，1，0），

則 得 ，

令x= ，則y= ，z=4，即 =（ ， ，4），

則cos＜ ， ＞= = = ，

即平面ABCD與平面DEF所成銳二面角的余弦值是 ．

【解析】（1）根據線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面ABEF；（2）建立空間坐標系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．