Question

【題目】已知函數g（x）=ax2-2ax+1+b（a>0）在區間[2，4]上的最大值為9，最小值為1，記f（x）=g（|x|）。

（1）求實數a，b的值；

（2）若不等式f（2k）>1成立，求實數k的取值范圍；

（3）定義在[p，q]上的函數（x），設p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q，x1，x2，…，xn-l將區間[p，q]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數M>0，使得和式恒成立，則稱函數（x）為在[p，q]上的有界變差函數。試判斷函數f（x）是否為在[0，4]上的有界變差函數?若是，求M的最小值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）10

【解析】試題分析：（1）由已知中在區間的最大值為9，最小值為1，結合函數的單調性及最值，我們易構造出關于，的方程組，解得，的值；（2）由（1）參數，的值，代入可得函數解析式，根據二次函數的圖象和性質，可將問題轉化為或，解出不等式得到的取值范圍；（3）根據有界變差函數的定義，我們先將區間進行劃分，分成，兩個區間進行分別判斷，進而判斷是否恒成立，從而求出結論.

試題解析：（1），因為，所以在區間上是增函數，故解得

（2）由已知可得為偶函數，所以不等式可化為或，解得，即實數的取值范圍是.

（3）函數為上的有界變差函數。

因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，

且對任意劃分，

不妨設，

所以有，，

所以

；

當時， ；

當時， ，

綜上，存在常數使得恒成立，所以的最小值為10。