Question

【題目】已知函數為奇函數．

（1）求實數k的值；

（2）判斷函數f（x）在（3，+∞）上的單調性，并利用定義證明；

（3）解關于x的不等式f（2x+6）＞f（4x+3×2x+3）．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）詳見解析；（3）（-∞，0）.

【解析】

（1）根據f（x）是奇函數即可得出，從而可求出k＝0；

（2）先寫出，根據單調性定義，設x1＞x2＞3，然后作差，通分，提取公因式，可判斷出f（x1）＞f（x2），從而得出f（x）在（3，+∞）上單調遞增；

（3）根據上面得出的f（x）在（3，+∞）上是增函數，可由f（2x+6）＞f（4x+3×2x+3）得出2x+6＞4x+3×2x+3，解該不等式即可．

解：（1）f（x）是奇函數；

∴f（-x）=-f（x）；

∴；

∴x2-kx+9=x2+kx+9；

∴-kx=kx；

∴k=0；

（2）在（3，+∞）上是增函數，證明如下：

設x1＞x2＞3，則：=；

∵x1＞x2＞3；

∴x1-x2＞0，x1x2＞9，；

∴；

∴f（x1）-f（x2）＞0；

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（3，+∞）上是增函數；

（3）由（2）知，f（x）在（3，+∞）上是增函數，且2x+6＞3，4x+3×2x+3＞3；

∴由f（2x+6）＞f（4x+3×2x+3）得，2x+6＞4x+3×2x+3；

∴（2x）2+2×2x-3＜0；

∴-3＜2x＜1；

∴x＜0；

∴原不等式的解集為（-∞，0）．