Question

某網站用“10分制”調查一社區人們的幸福度．現從調查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）：
（1）指出這組數據的眾數和中位數；
（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；
（3）以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區（人數很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

（1）由莖葉圖得到所有的數據從小到大排，8.6出現次數最多，
∴眾數：8.6；中位數：8.75；
（2）設A_i表示所取3人中有i個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則P(A)=P(A0)+P(A1)=

C 312

C 316

+

C 14 C 212

C 316

=

121

140

（3）ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(

3

4

)3=

27

64

；P(ξ=1)=

C

13

1

4

(

3

4

)2=

27

64

P(ξ=2)=

C

23

(

1

4

)2

3

4

=

9

64

；P(ξ=3)=(

1

4

)3=

1

64

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

所以Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=0.75．
另ξ的可能取值為0、1、2、3．則ξ～B(3，

1

4

)，P(ξ=k)=

C

k3

(

1

4

)k(

3

4

)3-k．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	( 3 4 )3	C 13 ( 1 4 )1( 3 4 )2	C 23 ( 1 4 )2( 3 4 )1	( 1 4 )3

所以Eξ=3×

1

4

=0.75．