Question

已知函數(shù)f(x)＝x²＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關(guān)于x的方程f(x)＝|f′(x)|； ?
(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]時(shí)的最小值．

Answer 1

(1)a≥(2) x＝1或x＝－(1＋2a) (3)4a＋5

(1)因?yàn)?i>f(x)≤f′(x)，所以x²－2x＋1≤2a(1－x)，
又因?yàn)椋?≤x≤－1， ?
所以a≥ _max在x∈[－2，－1]時(shí)恒成立，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035013959745.png" style="vertical-align:middle;" />＝≤，
所以a≥.(4分)
(2)因?yàn)?i>f(x)＝|f′(x)|，所以x²＋2ax＋1＝2|x＋a|，
所以(x＋a)²－2|x＋a|＋1－a²＝0，則|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)
①當(dāng)a＜－1時(shí)，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；
②當(dāng)－1≤a≤1時(shí)，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，
所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；
③當(dāng)a＞1時(shí)，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)
(3)因?yàn)?i>f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝
①若a≥－，則x∈[2,4]時(shí)，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，
從而g(x)的最小值為g(2)＝2a＋4；(12分)
②若a＜－，則x∈[2,4]時(shí)，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x²＋2ax＋1，
當(dāng)－2≤a＜－時(shí)，g(x)的最小值為g(2)＝4a＋5，
當(dāng)－4＜a＜－2時(shí)，g(x)的最小值為g(－a)＝1－a²，
當(dāng)a≤－4時(shí)，g(x)的最小值為g(4)＝8a＋17.(14分)
③若－≤a＜－，則x∈[2,4]時(shí)，
g(x)＝
當(dāng)x∈[2,1－2a)時(shí)，g(x)最小值為g(2)＝4a＋5；
當(dāng)x∈[1－2a,4]時(shí)，g(x)最小值為g(1－2a)＝2－2a.
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035013944389.png" style="vertical-align:middle;" />≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，
所以g(x)最小值為4a＋5，
綜上所述，
[g(x)]_min＝(16分)