Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋x²－(a＋1)x(a>0，a為常數(shù))．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若a＝1，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)< x²－－.

Answer 1

(1) 在，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)見解析

(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋ax－(a＋1)＝.
當(dāng)0<a<1時(shí)，由f′(x)>0解得0<x<1或x>，由f′(x)<0解得1<x<，
所以函數(shù)f(x)在(0，1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)≥0對(duì)x>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a>1時(shí)，由f′(x)>0解得x>1或0<x<，由f′(x)<0解得<x<1.
所以函數(shù)f(x)在，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)證明：當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式等價(jià)于ln x－2x＋＋<0.
因?yàn)?i>x>1，所以＝<，
因此ln x－2x＋＋<ln x－2x＋＋.
令g(x)＝ln x－2x＋＋，
則g′(x)＝.
令h(x)＝，當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)＝－x²－4x＋<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而h(x)<h(1)＝0，即g′(x)<0，
所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則g(x)<g(1)＝0，
所以當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<x²－－.