Question

已知集合S={x|x=m²+n²，m，n∈Z}，求證：若a，b∈S，則ab∈S．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：集合

分析：若a，b∈S，則：存在整數m₁，n₁，m₂，n₂，滿足a=m₁²+n₁²，b=m₂²+n₂²，進而將ab=（m₁²+n₁²）（m₂²+n₂²）化為（m₁•m₂-n₁•n₂）²+（m₁•n₂+n₁•m₂）² 的形式，可得結論．

解答： 解：若a，b∈S，則：存在整數m₁，n₁，m₂，n₂，滿足
a=m₁²+n₁²，b=m₂²+n₂²，
則ab=（m₁²+n₁²）（m₂²+n₂²）
=m₁²•m₂²+n₁²•n₂²+m₁²•n₂²+n₁²•m₂²
=（m₁•m₂）²+（n₁•n₂）²-2（m₁•m₂•n₁•n₂）²+（m₁•n₂）²+（n₁•m₂）²+2（m₁•m₂•n₁•n₂）²
=（m₁•m₂-n₁•n₂）²+（m₁•n₂+n₁•m₂）²，
因為（m₁•m₂-n₁•n₂），（m₁•n₂+n₁•m₂）為整數，
所以ab∈S

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，其中將ab=（m₁²+n₁²）（m₂²+n₂²）化為（m₁•m₂-n₁•n₂）²+（m₁•n₂+n₁•m₂）² 的形式，是解答的關鍵．