【題目】設集合
.若
的非空子集
中奇數的個數大于偶數的個數，則稱是“好的”.試求的所有“好的”子集的個數（答案寫成最簡結果）.
【答案】見解析
【解析】
對
分奇、偶兩種情況討論.
（1）當
（
為非負整數），這時
中奇元素恰比偶元素多一個.設
是
的任何一個子集，則和
中有且只有一個子集是“好的”，從而的“好子集”的個數為
.
（2）當
（為正整數），中奇元素個數與偶元素個數相等.定義為“壞子集”為當且僅當中奇元素個數小于偶元素的個數，而定義為“中性子集”（包括空集）為當且僅當中奇元素個數與偶元素個數相等.
由對稱性知，的“好子集”個數與“壞子集”的個數必定相等，所以有
“好子集”個數
.
其中公式
可證明如下：考慮恒等式
兩邊中
項的系數，由二項式定理知，左邊式中項的系數是
，而右邊式中的系數是
，故得恒等式
.
本題答案可統一地寫為
其中
是不大于
的最大整數）.
注：由恒等式
可得組合恒等式：
（注意當
時，
）.這種利用模型來建立和證明組合恒等式的方法（叫做“模型法”）在組合數學中是很常用的，也很重要，應該熟悉進而掌握它.如果是
個奇數和
個偶數組成，那么的“好子集”個數又為多少呢？請讀者自己考慮之.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
是偶函數.
（1）求
的值；
（2）若函數
的圖象在直線
上方，求
的取值范圍；
（3）若函數
，
，是否存在實數
使得
的最小值為
?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學在研究函數
時，給出下面幾個結論：
①等式
對
恒成立；
②函數的值域為
；
③若
，則一定
；
④對任意的
，若函數
恒成立，則當
時，
或
．
其中正確的結論是____________（寫出所有正確結論的序號）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的眾數是83，乙班學生成績的平均數是86，則
的值為（ ）
A.7B.8C.9D.10
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在棱長為
的正方體
中，
，
分別是
和
的中點．
（
）求異面直線
與
所成角的余弦值．
（）在棱
上是否存在一點
，使得二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
的焦點為
，點
為上異于頂點的任意一點，過的直線
交于另一點
，交
軸正半軸于點
，且有
，當點的橫坐標為3時，
為正三角形.
（1）求的方程；
（2）若直線
，且
和相切于點
，試問直線
是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下四個命題：
①“若
，則
”的逆否命題為真命題
②“
”是“函數
在區間
上為增函數”的充分不必要條件
③若
為假命題，則
，
均為假命題
④對于命題：
，
，則
為：
，
其中真命題的個數是（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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