Question

【題目】已知直線為橢圓的右準線，直線與軸的交點記為，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點.

（1）設點在直線上，且滿足，若直線與線段交于點，求證：點為線段的中點；

（2）設點的坐標為，直線與直線交于點，試問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）為定值0.

【解析】

（1）設直線的方程為，直線的方程為， 故直線的方程為.再聯立橢圓方程和直線，根據韋達定理求出線段的中點為，滿足直線方程，所以，直線與線段交點為線段的中點.

（2）當直線的斜率為0時， . 直線的斜率不為0時，計算直線的方程，求得點的坐標為，縱坐標與點相等，即，.

（1）由橢圓方程為知，右焦點坐標，橢圓的右準線方程為，點坐標.

①當直線的斜率不存在時，直線與線段交點即為右焦點，此時點為線段的中點.

②又由知，直線的斜率不為0，故設直線的方程為，

從而，直線的方程為，令得，點坐標為，

故直線的方程為.

聯立方程組，消去得：，

設，，則，

即，，

從而，線段的中點.

又線段的中點的坐標滿足直線方程，

所以，直線與線段交點為線段的中點.

綜上可知，點為線段的中點.

（2）當直線的斜率為0時，點即為點，從而，故.

直線的斜率不為0時，

由（1）知，，，

所以，則.

直線的方程為，又，

令，得，

所以點的坐標為，縱坐標與點相等。

即，所以.

綜上可知，為定值0.