Question

【題目】如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點.

（1）證明：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1＝B，推出AE⊥平面B1BCC1；

（2）取AB的中點G，說明直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，就是∠CA1G，求出棱錐的高與底面面積即可求解幾何體的體積．

（1）證明：∵幾何體是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE底面ABC，∴AE⊥BB1，

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E分別是BC的中點，

∴AE⊥BC，BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面B1BCC1；

（2）解：取AB的中點G，連結A1G，CG，由（1）可知CG⊥平面A1ABB1，

直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，就是∠CA1G，則A1G＝CG，

∴AA1，CF．

三棱錐F﹣AEC的體積：．