Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點.

（1）求橢圓的方程;

（2）已知為的中點，存在定點，使得對于任意的都有，求點的坐標;

（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．（2）直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓聯立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2-12）]=0，由此利用韋達定理、直線垂直，結合題意能求出結果．（3）OM的方程可設為y=kx，與橢圓聯立得M點的橫坐標為，由OM∥l，能求出結果

試題解析：（1）因為左頂點為，所以，又，所以.…………………2分

又因為，

所以橢圓C的標準方程為. ………………………………4分

（2）直線的方程為，由消元得，.

化簡得，，

所以，. ………………………………6分

當時，，

所以.因為點為的中點，所以的坐標為，則.……………………8分

直線的方程為，令，得點坐標為，

假設存在定點，使得，

則，即恒成立，

所以恒成立，所以即

因此定點的坐標為. ……………10分

（3）因為，所以的方程可設為，

由得點的橫坐標為，…………………12分

由，得

…………………14分

，

當且僅當即時取等號，

所以當時，的最小值為． ………………16分