Question

【題目】設函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，若不等式恒成立，求整數m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在單調遞減，在單調遞增；

當時，在，單調遞增；在單調遞減；

當時，在上單調遞增.

（2）的最大值為

【解析】

（1）對求導，得到，設，分為，即；分，進行討論，得到的正負，即的正負，從而得到的單調性；

（2）根據題意將問題轉化為不等式恒成立，設則，求導得到，令，根據，得到單調遞增，從而得到存在唯一的，使得，得到，通過進行代換，得到的范圍，結合為整數，從而得到的最大值.

（1）函數，

所以，

設，其對稱軸為

①時，即時，，

所以，在上單調遞增；

②時，即時，由得

，

1）時，即時，

此時，

在小于，在大于

所以在單調遞減，在單調遞增

2）時，即時，

此時，

在大于，在小于，在大于，

所以在，單調遞增；在單調遞減；

綜上所述：

當時，在單調遞減，在單調遞增；

當時，在，單調遞增；在單調遞減；

當時，在上單調遞增.

（2）當時，若不等式恒成立，

即不等式恒成立，

設，則

由，

，

，

所以在恒成立，

所以在單調遞增，

又，，

所以，存在唯一的，

使得①

且時，，∴單調遞減，

時，，∴單調遞增，

∴

由①代換可得

又，∴，

又易知：在單調遞增，

所以，

又且為整數.

所以的最大值為.