Question

【題目】已知數列的前項和為，且滿足：.

（1）求，，的值；

（2）求證：數列是等比數列，并求通項公式；

（3）令，如果對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ,, ；(2)證明見解析，；(3) 或.

【解析】

(1)由已知，將代入，可求得，，的值.
(2) 由，有可得，即，可得到答案.
(3) 由（2），得，得出數列的單調性，得到，根據條件即得到即，可求出參數的范圍.

(1)由，可得，即，所以.

，即，所以.

即，所以.

(2)由， ①

有 ，②

由②－①得，即，

所以，又，

故，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列.

所以，即.

(3)由（2），得，

則，

則當時，；

當時，.

所以

所以數列有最大值，即.

對任意，都有，即，解得或.

所以實數的取值范圍或.