Question

【題目】已知函數 .

（1）若，判斷函數的單調性；

（2）討論函數的極值，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 在上遞增. (2)見解析

【解析】

(1)將k=1代入表達式，對函數求導，通過判斷導函數的正負得到原函數的單調性；（2）對導函數繼續求導，研究的單調性以及零點情況進而得到原函數的極值點的情況.

（1）當時，，，

設，

則，當時，，遞減，

當時，，

遞增，則，即，所以在上遞增.

（2），，

設，，

當時，，遞減；當時，，遞增；

則；

若，即時，恒成立，即，則在遞增；

若，即時，，

一方面：，而，即，

由零點存在定理知在上有一個零點，設為；

另一方面：，設，（），，

則在遞增，則，即，

由零點存在定理知在有一個零點，設為；

于是，當時，，遞增；

當時，，遞減；

當時，，遞增；故此時函數有兩個極值點.