Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且4Sn=（an+1）2（n∈N+）． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設Tn為數列{ }的前n項和，證明： ≤Tn＜1（n∈N+）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當n=1時，4a1=（a1+1）2 ， 解得：a1=1， 當n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 4Sn=（an+1）2 ，
兩式相減得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴數列{an}是以2為公差，以1為首項的等差數列，
∴an=2n﹣1；
證明：（Ⅱ） = = ﹣ ，
∴Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ），
=1﹣ ，
∴Tn＜1，
＞0，
∴Tn≥T1= ．
∴ ≤Tn＜1（n∈N+）
【解析】（Ⅰ）當n=1時，即可求得a1=1，當n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 4Sn=（an+1）2 ， 兩式相減可得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，可知：an﹣an﹣1=2，數列{an}是以2為公差，以1為首項的等差數列，即可求得數列{an}的通項公式；（Ⅱ） = ﹣ ，根據“裂項法”即可求得Tn=1﹣ ，Tn＜1，由Tn≥T1= ．即可證明 ≤Tn＜1（n∈N+）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．