Question

【題目】已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：如圖1，當DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）發現探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）

解：成立．

證明：由①易知AD=AE，

∴由旋轉性質可知∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

得

∴△DAB≌△EAC，

∴DB=CE，

（3）

解：如圖，

將△CPB繞點C旋轉90°得△CEA，連接PE，

∴△CPB≌△CEA，

∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，

∴∠CEP=∠CPE=45°，

在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 ，

在△PEA中，PE2=（2 ）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，

∵PE2+AE2=AP2，

∴△PEA是直角三角形

∴∠PEA=90°，

∴∠CEA=135°，

又∵△CPB≌△CEA

∴∠BPC=∠CEA=135°．

【解析】解：（1）∵DE∥BC，
∴ ，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案為：DB=EC
此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理及其逆定理，解本題的關鍵是構造全等三角形，也是本題的難點．（1）由DE∥BC，得到 ，結合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉得到的結論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉構造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，在簡單計算即可．