Question

【題目】設直線與圓交于M、N兩點，且M、N關于直線對稱．

（1）求m，k的值；

（2）若直線與圓C交P，Q兩點，是否存在實數a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在．

【解析】試題分析：（1）由M，N關于直線x+y=0對稱，可知所求的直線的斜率k=1，根據圓的性質可得直線y+x=0過圓的圓心C（1，m）代入可求m
（2）把x=ay+1代入（x-1）2+（y+1）2=9得（1+a2）y2+2y-8=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韋達定理，OP⊥OQ，則有x1x2+y1y2=0，代入整理可求.

試題解析：

（1）因為圓上的兩點關于直線對稱，所以，直線過圓心，圓心，即有，同時，對稱點的連線被對稱軸垂直平分，所以又有 ，從而

（2）由（1)知：圓C（x-1）2+（y+1）2=9，把代入

得 ，設， 則，

若，則有x1x2+y1y2=0,

即， 方程無實數根，所以滿足條件的實數不存在．