Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，三角形為等邊三角形， ，且．

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據三角形中位線定理可得，從而根據直線與平面平行的判定定理可得結論；（2）根據等腰三角形性質可得，由平面平面可得， 平面，從而根據面面垂直的判定定理可得結論；（3）根據等積變換.

試題解析：（1）∵， 分別為， 的中點，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

綜上所述，命題得證．

（2）∵， 為的中點，

∴，

∵平面平面， 平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面，

綜上所述：命題得證．

（3）在等腰直角三角形中，

，∴， ，

∴，

∵平面，

∴，

∴．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.．