Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1與x=2處都取得極值． （Ⅰ）求a，b的值及函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ c＜c2恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b， 由題意： 即
解得
∴ ，f′（x）=3x2﹣3x﹣6
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，
∴f（x）的減區間為（﹣1，2）；增區間為（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調遞增；
在（﹣1，2）上單調遞減；在（2，+∞）上單調遞增．
∴x∈[﹣2，3]時，f（x）的最大值即為f（﹣1）與f（3）中的較大者. ；
∴當x=﹣1時，f（x）取得最大值．
要使 ，只需 ，即：2c2＞7+5c
解得：c＜﹣1或 ．
∴c的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（Ⅱ）求出函數的最大值為f（﹣1），要使不等式恒成立，既要證f（﹣1）+ c＜c2 ， 即可求出c的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．