Question

【題目】設關于某產品的明星代言費x（百萬元）和其銷售額y（百萬元），有如表的統計表格：

i	1	2	3	4	5	合計
xi（百萬元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百萬元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百萬元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00
=1.56， =4.01， =6， xiyi=48.66， wiyi=132.62， （xi﹣ ）2=0.20， （wi﹣ ）2=10.14

其中 ．
（1）在坐標系中，作出銷售額y關于廣告費x的回歸方程的散點圖，根據散點圖指出：y=a+blnx，y=c+dx3哪一個適合作銷售額y關于明星代言費x的回歸類方程（不需要說明理由）；

（2）已知這種產品的純收益z（百萬元）與x，y有如下關系：x=0.2y﹣0.726x（x∈[1.00，2.00]），試寫出z=f（x）的函數關系式，試估計當x取何值時，純收益z取最大值？（以上計算過程中的數據統一保留到小數點第2位）

Answer 1

【答案】
（1）解：散點圖如右圖：

根據散點圖可知，y=c+dx3適合作銷售額y關于明星代言費x的回歸方程

（2）解：令ω=x3，則y=c+dω是y關于ω的線性回歸方程，

所以 = =1.21， = ﹣1.21ω=1.15+1.21x3，

所以y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x3．

z=f（x）=0.2y﹣0.726x=0.2（1.15+1.21x3）﹣0.726x

=0.242x3﹣0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]

令z'=0.726x2﹣0.726≥0，得x≥1.00，

因為x∈[1.00，2.00]，

所以估計當明星代言費x=2.00百萬元時，純收益z取最大值．

估計：當明星代言費x=2.00百萬元時，純收益z取最大值

【解析】（1）散點圖，根據散點圖可知，y=c+dx3適合作銷售額y關于明星代言費x的回歸方程．（2）令ω=x3 ， 則y=c+dω是y關于ω的線性回歸方程，求出y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x3 ． z=f（x）=0.242x3﹣0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]，利用導數性質求出當明星代言費x=2.00百萬元時，純收益z取最大值．
【考點精析】關于本題考查的頻率分布直方圖，需要了解頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息才能得出正確答案．