Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n﹣1
（1）求證：數列{an+n}是等比數列；
（2）求數列{an}的通項和前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n﹣1，變形為an+1+（n+1）=2（an+n）．

∴數列{an+n}是等比數列，其中首項為a1+1=2，公比為2；

（2）解：由（1）可得： ，∴ ．

∴Sn= =2n+1﹣2﹣

【解析】（1）由數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n﹣1，變形為an+1+（n+1）=2（an+n）即可證明；（2）利用等比數列的通項公式、等比數列與等差數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比關系的確定的相關知識，掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．