Question

【題目】已知點，是圓上的一個動點，為圓心，線段的垂直平分線與直線的交點為．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)與軸的正半軸交于點，直線與交于兩點（不經(jīng)過點），且,證明：直線經(jīng)過定點，并寫出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過定點.

【解析】

（1）由橢圓定義，得到點的軌跡是以、為焦點的橢圓，求得的值，進(jìn)而得到的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）聯(lián)立方程組，利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，得到，，再由，根據(jù)，即可求解實數(shù)m的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

（1）圓的圓心，半徑，

由垂直平分線性質(zhì)知：，

故，

由橢圓定義知，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，

設(shè)：，焦距為，

則，，，，

所以的方程為.

（2）由已知得，由得，

當(dāng)時，設(shè)，，則，，

，，

由得，即，

所以，解得或，

①當(dāng)時，直線經(jīng)過點，不符合題意，舍去.

②當(dāng)時，顯然有，直線經(jīng)過定點.