Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于不同兩點，（都在軸上方），且.

（ⅰ）若點的橫坐標為1，求的面積；

（ⅱ）直線是否恒過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率，可得.

所以，所以.

又因為點在橢圓上，

所以，即.

解得，故.

∴橢圓的方程為. -----------------4分

（Ⅱ）橢圓的左焦點為.

（ⅰ）當時，點的坐標為.

直線的斜率，所以.

直線的方程為，即.

而.

點到直線的距離.

所以面積. ----------------- 8分

（ⅱ）設直線方程為，，.

聯立方程組，

消得，-----------------10分

由根與系數的關系可得，.

所以

所以

即

代入整理，

整理得. -----------------13分

所以直線的方程為，

所以直線總過定點. -----------------14分

【命題意圖】本題考查橢圓的方程與性質、直線和橢圓的位置關系、三角形面積的求解以及定點的探究性問題，意在考查基本的邏輯推理能力、運算能力和數學應用意識等.