Question

已知定義域為（0，+∞）的單調函數f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(

1

a

)的值；
（Ⅱ）若關于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個根，求實數k的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用賦值法，令m=n=1，解得f（1）=0，令m=a ， n=

1

a

，解得f(

1

a

)=-1即可；
（Ⅱ）令m=n，得：2f（n）=f（n²），所求方程等價于f[（x+1）²]=f（kx），結合f（x）的單調性，所以原方程可化為一元二次不等式組，現分類討論：①若k＞0，②若k＜0，結合根的分布原理，即可求得實數k的取值集合．

解答：解：（Ⅰ）令m=n=1，解得f（1）=0
又令m=a ， n=

1

a

，解得f(

1

a

)=-1
（Ⅱ）令m=n，得：2f（n）=f（n²），
所求方程等價于f[（x+1）²]=f（kx），
又f（x）是（0，+∞）上的單調函數，
所以原方程可化為

(x+1)2=kx x+1＞0 kx＞0

，即

x2+(2-k)x+1=0 x＞-1 kx＞0

若k＞0，則原問題為方程x²+（2-k）x+1=0在（0，+∞）上有一個根，
設其兩根為x₁，x₂，則△=（2-k）²-4≥0，又注意到x₁x₂=1＞0，
∴只可能是二重正根，由△=0解
得k=4或k=0（矛盾，舍去）
若k＜0，則原問題為方程x²+（2-k）x+1=0在（-1，0）上有一個根，
仍有x₁x₂=1＞0，記g（x）=x²+（2-k）x+1，
易知g（0）=1＞0，
由根的分布原理，只需g（-1）＜0，即k＜0，
綜上，k∈（-∞，0）∪{4}．

點評：本題主要考查函數的奇偶性，屬于中檔題，函數的單調性是函數的“局部”性質．研究函數的奇偶性，我們必須正確理解它們的定義．賦值法是解決抽象函數常用的方法．