Question

【題目】設拋物線上的點到焦點的距離.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）如圖，直線與拋物線交于兩點，點關于軸的對稱點是.求證：直線恒過一定點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先由拋物線定義用坐標表示，進而得，再根據點在拋物線上，聯立方程組可解出.（Ⅱ）證明直線過定點，一般方法為以算代證，即先求出直線方程，再將直線方程化為點斜式證明過定點.具體方法為先設兩點（用縱坐標表示），根據直線與拋物線位置關系得兩點坐標關系.再根據兩點式寫出直線方程，化成點斜式得定點（或令 解得 ）

試題解析：解：（Ⅰ）由拋物線定義得

又，所以，即

代入，得，由得.

所以拋物線的方程為.

（Ⅱ）設，聯立直線與拋物線方程：

，

消去得，

由韋達定理可得.

又由，可得直線的方程為：

，

∵，

∴，

即，

，

∴，

∴直線恒過定點.