【題目】已知函數
，函數
，其中
.
（1）如果函數
與
在
處的切線均為
，求切線的方程及
的值；
（2）如果曲線
與
有且僅有一個公共點，求
的取值范圍.
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
試題分析：（1）
和
在
處的切線相同，則在該點出的導數相等，從而求解
的值，以及切線
的方程；（2）設函數
，則將原問題轉化為有
有唯一解，然后對
進行分類討論即可.
試題解析：（1）解：求導，得
.
由題意，得切線
的斜率
，即
，解得.
又切點坐標為
，所以切線
的方程為.
（2）解：設函數.
“曲線與有且僅有一個公共點”等價于“函數
有且僅有一
個零點”. 求導，得
.
① 當
時，
由
，得
，所以
在
單調遞增.
又因為
，所以有且僅有一個零點
，符合題意.
②當時，
當
變化時，
與的變化情況如下表所示：
|
|
|
|
|
| 0 |
|
| ↘ | ↗ |
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以當
時，
，
故
有且僅有一個零點
，符合題意.
③ 當
時，
令
，解得
.
當
變化時，
與
的變化情況如下表所示：
|
|
|
|
| - | 0 |
|
| ↘ | ↗ |
所以在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以當
時，
.
因為
，且在上單調遞增，
所以
.
又因為存在
，
所以存在
使得
，
所以函數存在兩個零點
，
，與題意不符.
綜上，曲線與有且僅有一個公共點時，
的范圍是.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，
兩點的坐標分別為
，動點
滿足：直線
與直線
的斜率之積為
.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于
兩點，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以邊長為4的等比三角形
的頂點
以及
邊的中點
為左、右焦點的橢圓過
兩點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過點
且
軸不垂直的直線
交橢圓于
兩點，求證直線
與
的交點在一條直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C:
的離心率為
，點
在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設動直線
與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點
，
（兩點均不在坐標軸上），且使得直線
，
的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角梯形PBCD中，
，
，
，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且
，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
.
（1）求橢圓
的方程式；
（2）已知動直線
與橢圓相交于
兩點.
①若線段
中點的橫坐標為
，求斜率
的值；
②已知點
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.
（Ⅰ）討論f(x)的單調性；
（Ⅱ）當
時，
恒成立，求a的取值范圍.(其中，e=2.718…為自然對數的底數).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
其中
，若函數
，且它的最小正周期為
．
（普通中學只做1，2問）
（1）求
的值，并求出函數
的單調遞增區(qū)間；
（2）當
（其中
）時，記函數
的最大值與最小值分
別為
與
，設
，求函數
的解
析式；
（3）在第（2）問的前提下，已知函數
， 
，若對于任意
， 
，總存在
，使得
成立，求實數t的取值范圍.
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