Question

【題目】已知各項均為正數的數列滿足, 且,其中.

(1) 求數列的通項公式；

(2) 設數列{bn}滿足 bn=,是否存在正整數，使得b1，bm，bn成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由.

(3) 令,記數列{cn}的前項和為,其中,證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，（3）證明見解析

【解析】分析：（1）由已知條件推導出數列{an}是公比為2的等比數列．由此能求出，n∈N*．

（2）=，若b1，bm，bn成等比數列，則．由此能求出當且僅當m=2，n=12．使得b1，bm，bn成等比數列．

（3）=[]，由此利用裂項求和法能證明．

詳解：（1）解：∵an+12=2an2+anan+1，∴（an+1+an）（2an﹣an+1）=0，

又an＞0，∴2an﹣an+1=0，即2an=an+1，

∴數列{an}是公比為2的等比數列．

由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．

∴數列{an}的通項公式為，n∈N*．

（2）解：=，若b1，bm，bn成等比數列，則（）2=，

即．

由，得，

∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．

又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此時n=12．

故當且僅當m=2，n=12．使得b1，bm，bn成等比數列．

（3）證明：=

=[]

=[]，

∴[]

=

=，

∵（）n+1遞減，

∴0＜（）n+1≤

∴，∴．