Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，已知點，，直線將分成兩部分，記左側部分的多邊形為.設各邊長的平方和為，各邊長的倒數和為.

（Ⅰ） 分別求函數和的解析式；

（Ⅱ）是否存在區間，使得函數和在該區間上均單調遞減？若存在，求 的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），，

（Ⅱ）存在，的最大值為.

【解析】

（Ⅰ）當時，多邊形是三角形，三邊長分別為，，，

當時，多邊形是四邊形，各邊長為，，，，

由此分別求出和的解析式即可.

（Ⅱ）由的解析式可知，函數的單調遞減區間是，再通過定義法說明在區間上單調遞減，故存在，由此可求的最大值.

（Ⅰ）當時，多邊形是三角形（如圖①），三邊長分別為，，，

此時，，

當時，多邊形是四邊形（如圖②），各邊長為，，，，

此時，

，

，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知，函數的單調遞減區間是，

另一方面，任取，且，

則，

，

，，，

，

即，

，

在區間上單調遞減，

當時，函數和在上均單調遞減

，

存在區間，使得函數和在該區間上均單調遞減，且的最大值為.