Question

【題目】已知函數

（1）當時，求的極大值；

（2）討論的單調區間；

（3）對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增區間是(－∞,a－2)，(a,＋∞)，單調遞減區間是(a－2,a)；（3）.

【解析】

（1）求導，令導數為零，討論函數的單調性，即可根據單調性求得極大值；

（2）求導，對導數分解因式，列表，寫出函數的單調區間即可；

（3）對參數進行分類討論，考慮每種情況下函數在區間上的最值，根據不等式恒成立，求得參數的取值范圍.

（1）時，

則，

令解得或.

當時，；

當時，；

當時，；

所以時，有極大值，

極大值為

（2）f(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a) [x－(a－2)]ex．

令f(x)＝0，．

當x變化時，f(x)、f(x)的變化如下：

x	(－∞,a－2)	a－2	(a－2,a)	a	(a,＋∞)
f(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，單調遞減區間是(a－2，a)．

（3）由（2）得f(x)的極大值為f(a－2)＝4ea－2．

（i）當a≤1時，

f(x)在(－∞,1]上的最大值為f(a－2)或f(1)，

即可得，且，

解得，且，

結合，

解得滿足題意的；

（ii）當 即時，

f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)

此時f(a－2)滿足題意，

故.

（iii）當時，即，

的最大值為，

又，

故不恒成立

綜上，的取值范圍是