Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線：，（為參數），將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的后得到曲線，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為。

（1）求曲線的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；

（2）設直線l與曲線交于不同的兩點A，B，點M為拋物線的焦點，求的值。

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）由曲線的參數方程得到普通方程，經變化后得到曲線：，化為極坐標即可，利用兩角差的正弦公式可得直線的極坐標方程為，進而可化為直角坐標方程；（2）寫出直線的參數方程，將直線代入到圓的方程中，利用參數的幾何意義結合韋達定理即可得結果.

解：（1）將曲線：(為參數)，消參得，

經過伸縮變換后得曲線：，

化為極坐標方程為，

將直線的極坐標方程為，即，

化為直角坐標方程為．

（2）由題意知在直線上，又直線的傾斜角為，

所以直線的參數方程為（為參數）

設對應的參數分別為，，

將直線的參數方程代入中，得．

因為在內，所以恒成立，

由韋達定理得

所以．