Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，與交于點，底面，為的中點，.

（1）求證： 平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OF，可得OF為的中位線，OF∥DE，可得證明；

（2）連接C點與AD中點為x軸，CB為y軸，CE為z軸建立空間直角坐標系，可得，的值，可得異面直線與所成角的余弦值；

（3）可得平面EBD的一個法向量為，可得與平面所成角的正弦值.

解：（1）

如圖，連接OF，因為底面是菱形，與交于點，

可得O點為BD的中點，又為的中點，所以OF為的中位線，

可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF內，

可得 平面；

（2）如圖連接C點與AD中點位x軸，CB為y軸，CE為z軸建立空間直角坐標系，

設菱形的邊長為2，可得CE=2，

可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),

可得：,,設異面直線與所成角為，

可得，

（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),

可得,,設平面EBD的一個法向量為，

可得，,可得的值可為，由

可得與平面所成角的正弦值為

=.