Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

（1）求證:AB⊥DE；

（2）若點F為BE的中點，求直線AF與平面ADE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由已知結合余弦定理，求得，再由勾股定理的逆定理有ED⊥DB，根據面面垂直的性質定理可得ED⊥平面ABD，即可證明結論；

（2）建立空間直角坐標系，求出，進而求出坐標和平面ADE法向量的坐標，按照空間線面角公式，即可求解.

（1）在△ABD中，由余弦定理:

BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos∠DAB，∴，

∴△ABD和△EBD為直角三角形，此即ED⊥DB，

而DB又是平面EBD和平面ABD的交線，

且平面EBD⊥平面ABD，ED平面EBD，

∴ED⊥平面ABD，AB平面ABD，∴AB⊥DE；

（2）由（1）知∠ABD=∠CDB=90°，以D為坐標原點，

DB，DC，DE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則，

則，設平面ADE的法向量為，

則有，令x=1，則，

，設直線AF與平面ADE所成角為α，則有，

所以直線直線AF與平面ADE所成角的正弦為.