Question

【題目】某學校科技節需要同學設計一幅矩形紙板宣傳畫，要求畫面的面積為（如圖中的陰影部分），畫面的上、下各留空白，左、右各留空白.

（1）如何設計畫面的高與寬的尺寸，才能使整個宣傳畫所用紙張面積最小？

（2）如果按照第一問這樣制作整個宣傳畫，在科技節結束以后，這整個宣傳畫紙板可再次作為某實驗道具，并要求從整個宣傳畫板的四個角各截取一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器.問截下的小正方形的邊長（也就是該容器的高）是多少時，該容器的容積最大？

Answer 1

【答案】(1)當畫面高為cm、寬為40cm時整個宣傳畫所用紙張面積最小為; (2) 當小正方形的邊長為10cm時該容器的容積最大為18000.

【解析】

（1）設畫面的高為x(cm)，寬為kx(cm) ，求出宣傳畫所用紙張面積S的表達式，利用將表達式轉化為關于k的函數，利用基本不等式即可得解；（2）設該容器的高為x cm，求出容器體積的表達式，利用導數研究函數的單調性從而求函數最大值.

（1）設畫面的高為x(cm)，寬為kx(cm)，則，

宣傳畫所用紙張面積為

當且僅當時取等號，此時，

所以當畫面高為cm、寬為40cm時整個宣傳畫所用紙張面積最小為.

（2）設該容器的高為x cm，則容器的底面長為cm，寬為cm，

該容器的體積為

，令或，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

，即當小正方形的邊長為10cm時該容器的容積最大為18000.