Question

【題目】已知函數，且函數為偶函數。

（1）求的解析式；

（2）若方程有三個不同的實數根，求實數m的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用是偶函數得到關于對稱，從而，解得a，進而得到解析式.

（2）問題轉化為方程有三個不同實數根，令，對求導，研究單調性及極值，得到大致圖像，由圖可得m的范圍.

（1）由題可知所以函數的對稱軸為，

由于是偶函數，

所以，即關于對稱

所以，即，

所以

（2）方程有三個不同的實數根，即方程有三個不同實數根.

令，由（1）有，

所以，令，則或。

當時，；當時，；當時，

故當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增.

所以，當時，取得極大值；當時，取得極小值，

又由于≥0，且當時，；當時，，

其大致圖像：

所以，方程有三個不同實數根時，m的范圍是