Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長為2的菱形， 是的中點，過三點的平面交于， 為的中點，求證：

（1）平面；

（2）平面；

（3）平面平面.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：(1)先證明四邊形是平行四邊形，得 平面 ，進而可得結(jié)論；(2)先由面面垂直的性質(zhì)可得，再證 ，由 可得 ，可得 平面 ；（3）由（2）可得 ，由等腰三角形性質(zhì)得，進而由面面垂直的判定定理得結(jié)論.

試題解析：（1） 平面

平面

平面平面平面，

又因

，

是的中點， 是的中點，底面是邊長為2的菱形，

四邊形是平行四邊形，

平面

平面；

（2）側(cè)面是正三角形，且與底面垂直， 為的中點，

由余弦定理可得，由正弦定理可得：

由可得

平面；

(3) 由（2）知平面， 平面

是的中點，

平面.

平面.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.