Question

【題目】已知函數，且的解集為，數列的前項和為，對任意，都有

（1）求數列的通項公式.

（2）已知數列的前項和為，滿足，，求數列的前項和.

（3）已知數列，滿足，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據根與系數的關系求出，和，再利用即可求出數列的通項公式；

（2）根據，，可證明為等比數列，求得，，再根據錯位相減法即可求出結果；

（3）由題意可知，可得，易知當時，；當時，，當時， ，進而求出有的最大值為，再根據不等式恒成立可列出不等式，解不等式，即可求出結果.

（1）的解集為，∴是方程的兩根

由韋達定理知，解得，∴，得

當時，有

當時，有

也符合 ，∴

（2）當時，有，即，得

當時，有，可得，即，

∴為等比數列，首項為，公比為2，

∴，∴.

①，

① 得，②

①-②得

∴

（3）由題意可知，

則

∴當時，，即

當時，，即，

當時，，即，故有的最大值為

由于對任意恒成立

則應有，或

綜上：的取值范圍是：或.