Question

【題目】已知(e為目然對數的底數).

(1)設函數，求函數的最小值；

(2)若函數在上為增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

（1）表示出g（x），利用導數可求得其最小值；

（2）原問題等價于a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），求導后可得函數h（x）在[1，+∞）上單調遞減，由a≥h（x）max，進而求得答案．

（1），函數g（x）的定義域為（0，+∞），，

令g′（x）＞0，解得x＞1，故函數g（x）在（1，+∞）單調遞增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，故函數g（x）在（0，1）單調遞減，

∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；

（2）由題意，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，

令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），則，顯然h′（x）為[1，+∞）的減函數，

∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，

∴函數h（x）在[1，+∞）上單調遞減，

∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，則a≥1﹣e，即實數a的取值范圍為[1﹣e，+∞）．