Question

將函數y=

-x2+4x

-

3

，x∈[1，3]的圖象繞坐標原點逆時針旋轉θ（θ為銳角）若所得曲線仍是一個函數的圖象，則θ的最大值為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：綜合題,直線與圓

分析：求出曲線過原點的切線的斜率，可得切線的傾斜角為 30°．因此，可得要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，最大旋轉角為 90°-30°=60°．

解答： 解：設y=

-x2+4x

-

3

，根據二次函數的單調性，可得函數在[1，2]上為增函數，在[2，3]上為減函數．
由函數y=

-x2+4x

-

3

，x∈[1，3]，可得圖象所在圓心坐標為（2，0），
設曲線的切線的斜率為k，方程為y=kx，則圓心到直線的距離

|2k|

k2+1

=2
所以k=

3

3

，可得切線的傾斜角為 30°，
因此，要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，
旋轉θ后的切線傾斜角最多為 90°，
也就是說，最大旋轉角為 90°-30°=60°，即θ的最大值為60°
故選：C．

點評：本題給出二次式作為被開方數的一個函數，將函數圖象繞原點逆時針旋轉θ后，所得曲線仍是一個函數的圖象，求角θ的最大值，著重考查了函數的圖象與圖象變化等知識點，屬于中檔題．