Question

【題目】設，函數.

(Ⅰ)若，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)若無零點，求實數的取值范圍；

(Ⅲ)若有兩個相異零點，求證： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)首先求得函數的導數，然后利用導函數研究函數的切線可得曲線在處的切線方程是；

(Ⅱ)結合函數的解析式分類討論可得實數的取值范圍是；

(Ⅲ)由題意結合題中的結論構造函數即可證得題中的不等式.

試題解析：

(Ⅰ)函數的定義域為，

當時， ，則切線方程為，即.

(Ⅱ)①若時，則是區間上的增函數，

∵，

∴，函數在區間有唯一零點；

②若有唯一零點；

③若，令，得，

在區間上， ，函數是增函數；

在區間上， ，函數是減函數；

故在區間上， 的最大值為，

由于無零點，須使，解得，

故所求實數的取值范圍是.

(Ⅲ)設的兩個相異零點為，設，

∵，∴，

∴，

∵，要證，只需證，

只需，等價于，

設上式轉化為)，

設，

∴在上單調遞增，

∴，∴，

∴.