Question

設函數f（x）=log₂

x+1

x-1

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的增減性，并根據函數單調性的定義加以證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據對是數函數的性質得到不等式，從而求出函數的定義域；
（2）先求出函數是奇函數，再根據函數的單調性的定義進行證明即可．

解答： 解：（1）由題意得：

x+1

x-1

＞0，解得：x＞1′或x＜-1，
∴函數的定義域為{x|x＞1或x＜-1}；
（2）函數f（x）是增函數，
由（1）得：函數f（x）的定義域是{x|x＞1或x＜-1}；
關于原點對稱，
又∵f（-x）=

log	-x+1 -x-1 2

=-

log

x+1 x-1 2

=-f（x），
∴f（x）在定義域上是奇函數，
只需證明函數f（x）在（1，+∞）上的單調性即可，
設1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=

log	x1+1 x1-1 2

-

log	x2+1 x2-1 2

=

log	(x1+1)(x2-1) (x1-1)(x2+1) 2

=

log	[1+ 2(x2-x1) (x1-1)(x2+1) ] 2

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴2（x₂-x₁）＞（x₁-1）（x₂-1），
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）遞減．

點評：本題考查了函數的定義域問題，考查了函數的單調性問題，是一道基礎題．