Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點為F（1，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點O為坐標原點，過點F作直線l與橢圓E交于M，N兩點，若OM⊥ON，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓的幾何性質，求出a、b的值即可；
（2）討論直線MN的斜率是否存在，設出MN的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，結合OM⊥ON，

OM

•

ON

=0求出直線的斜率k，即可求出直線l的方程．

解答： 解：（1）依題意得，c=1，∴

1 a = 2 2 a2=b2+1

；…（2分）
解得a=

2

，b=1；
∴橢圓E的標準方程為

x2

2

+y²=1；…（4分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，不符題意；…（5分）
②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x-1）；…（6分）
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得：[1+2k²]x²-4k²x+2（k²-1）=0，…（8分）
∴x₁+x₂=

4x2

1+2k2

，x₁•x₂=

2(k2-1)

1+2k2

；…（10分）
∴y₁•y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

-k2

1+2k2

；
又∵OM⊥ON，∴

OM

•

ON

=0；
∴x₁•x₂+y₁y₂=

k2-2

1+2k2

=0，
解得k=±

2

，…（13分）
∴直線l的方程為：y=±

2

（x-1）．…（14分）

點評：本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，也考查了直線與橢圓的應用問題，考查了根與系數關系的應用問題，平面向量的應用問題，是綜合題．