Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）在棱上是否存在一點E，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在；

【解析】

（1）由線面平行判定定理證明即可；

（2）由勾股定理得出，進而得，再由面面垂直的性質定理即可證明平面；

（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

證明：（1）因為，

平面，

平面，

所以平面.

（2）取的中點N，連接.

在直角梯形中，

易知，且.

在中，由勾股定理得.

在中，由勾股定理逆定理可知.

又因為平面平面，

且平面平面，

所以平面.

（3）取的中點O，連接，.

所以，

因為平面，

所以平面.

因為，

所以.

如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，.

易知平面的一個法向量為.

假設在棱上存在一點E，使得二面角的大小為.

不妨設（），

所以，

設為平面的一個法向量，

則 即

令，，所以.

從而.

解得或.

因為，所以.

由題知二面角為銳二面角.

所以在棱上存在一點E，使得二面角的大小為，

此時.