Question

【題目】已知：在長方體中，，點是線段上的一個動點，則①的最小值等于__________；②直線與平面所成角的正切值的取值范圍為____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

①將△AB1C與△D1B1C以公共邊B1C為鄰邊展開成一個平行四邊形，其對角線AD1的長度即為所求．

②P點在B1C上移動，它在平面ADD1上的射影H落在A1D上，此時PH是定值A1B1，只需研究AH的范圍即可．

長方體中，∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，點P是線段B1C上的一個動點．

①由長方體的性質可知，，，．

將△AB1C與△D1CB1以B1C為公共邊展開成一平面四邊形AB1D1C，如圖：

易證四邊形AB1D1C是平行四邊形，所以當APD1三點共線時，即AP+D1P＝AD1時最�。�

根據平行四邊形對角線和四條邊的性質即：，

代入數據得：，解得．

∴AP+D1P的最小值等于．

②由長方體的性質可知，對角面A1B1CD⊥平面ADD1A1，交線為A1D．

所以由點P向直線A1D作垂線PH，則PH⊥平面ADD1A1．

連接AH，則∠PAH即為直線PA與平面AA1D1D所成角．

顯然PH＝AB＝1為定值．

設Rt△A1AD斜邊上的高為h，則A1Dh＝ADAA1，求得h，此時AH最短．

結合A1A＝3，所以，

所以tan∠PAH．

故答案為：，．