Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，點M、N分別是A₁C₁和A₁B₁的中點，AA₁=AB=BM=2，∠A₁AB=60°．
（Ⅰ）求證：BN⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-M的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結A₁B和MN，由已知條件推導出BN⊥A₁B₁，BN⊥MN，由此能證明BN⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）連結C₁N，取A₁N中點P，連結MP，過點P作PQ⊥AB于點Q，連MQ，由已知條件推導出∠MQP是二面角A₁-AB-M的平面角，由此能求出二面角A₁-AB-M的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：連結A₁B和MN，
∵ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°，
∴△ABB₁是正三角形，
∵N是A₁B₁的中點，∴BN⊥A₁B₁，
∵AA₁=AB=BM=2，M是A₁C₁的中點，
∴BN=3，MN=1，∴MN²+BN²=BM²，
∴BN⊥MN，
又A₁B₁∩MN=N，
∴BN⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）解：連結C₁N，取A₁N中點P，連結MP，
過點P作PQ⊥AB于點Q，連MQ，
∵△A₁B₁C₁是正三角形，N是A₁B₁的中心，
∴C₁N⊥A₁B₁，∵BN⊥平面A₁B₁C₁，
∴C₁N⊥BN，
∵MP∥C₁N，∴MP⊥平面ABB₁A₁，
又PQ⊥AB，∴MQ⊥AB，
∴∠MQP是二面角A₁-AB-M的平面角，
在Rt△MQPk，MP=

1

2

C1N=

3

2

，PQ=BN=

3

，
∴tan∠MQP=

MP

PQ

=

1

2

，
∴二面角A₁-AB-M的正切值為

1

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．