Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲線y=g（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a，b，c的值；
（2）當a²+b=0時，求函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根據(jù)a²+b=0，構建函數(shù)，求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），則f′（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，則g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）為公共切點，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1=c，g（1）=1+b=c，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．c=4．
（2）由a²+b=0得b=-a²，設h（x）=f（x）+g（x）=ax²+1+x³-a²x．
則h′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），令h′（x）=0，解得：x=-a＜0或x=

a

3

＞0，

x	（-∞，-a）	-a	（-a，0）
h′（x）	+		-
h（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴原函數(shù)在（-∞，-a））單調(diào)遞增，在（-a，0）單調(diào)遞減，
①若-1≤-a，即0＜a≤1時，此時函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1]單調(diào)遞增，最大值為h（-1）=a²+a；
②若-1＞-a，即a＞時，最大值為最大值為h（-a）=a³+1
綜上所述：當a∈（0，1]時，最大值為h（-1）=a²+a；
當a∈（1，+∞）時，最大值為h（-a）=a³+1．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關鍵是正確求出導函數(shù)．綜合性較強．