Question

如圖，已知ABCD是正方形；P是平面ABCD外一點，且PA⊥面ABCD，PA=AB=3．求：
（1）二面角P-CD-A的大小．
（2）三棱錐P-ABD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，BD，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得BD⊥PA，從而BD⊥平面PAC，由此能求出BD與PC的夾角為90°．
（2）由已知條件得PA是三棱錐P-ABD的高，由此能求出三棱錐P-ABD的體積．

解答： 解：（1）連結(jié)AC，BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC，
∴BD與PC的夾角為90°．
（2）∵ABCD是正方形，P是平面ABCD外一點，
且PA⊥面ABCD，PA=AB=3，
∴三棱錐P-ABD的體積：
V=

1

3

×S△ABD×PA
=

1

3

×

1

2

×3×3×3
=

9

2

．

點評：本題考查異面直線的夾角的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．