Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點A(1，

3

2

)，離心率為

1

2

，左、右焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當△F₂AB的面積為

12 2

7

時，求直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由于橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點A(1，

3

2

)，離心率為

1

2

，可得

1

a2

+

9

4b2

=1，

c

a

=

1

2

即

b2

a2

=

3

4

，即可解出．
（2）對直線l的斜率分類討論，與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點A(1，

3

2

)，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1①，
又∵離心率為

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，∴

b2

a2

=

3

4

②，
聯立①②得a²=4，b²=3．
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）①當直線的傾斜角為

π

2

時，A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)，
S△ABF2=

1

2

|AB|×|F1F2|=

1

2

×3×2≠

12 2

7

，不適合題意．
②當直線的傾斜角不為

π

2

時，設直線方程l：y=k（x+1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4 (4k2+3)2 - 4(4k2-12) 4k2+3 ]

=

12(1+k2)

4k2+3

．
點F₂到直線l的距離d=

|k+k|

1+k2

，
∴S△ABF2=

1

2

|AB|•d=

12|k| 1+k2

4k2+3

=

12 2

7

，
化為17k⁴+k²-18=0，解得k²=1，∴k=±1，
∴直線方程為：x-y+1=0或x+y+1=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．