Question

如圖，在直三棱柱中，，．若為的中點，求直線與平面所成的角.

Answer 1

60°

試題分析：因為在直三棱柱中，，．若為的中點，需求直線與平面所成的角.可以建立直角坐標系，通過平面的法向量與直線所在的向量的夾角的余弦值即為直線與平面所成角的正弦值.即可得結論.另外也可以通過構建直線所成的角，通過解三角形求得結論.
試題解析：方法一：如圖1以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，
所在直線為軸建系，則，則            2分；

設平面A₁BC₁的一個法向量，則，
則，取，則                   6分
設AD與平面A₁BC₁所成的角為，

則=                               10分
則,∴AD與平面A₁BC₁所成的角為             12分
方法二：由題意知四邊形AA₁B₁B是正方形，故AB₁⊥BA₁．
由AA₁⊥平面A₁B₁C₁得AA₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥A₁B₁，所以A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，故A₁C₁⊥AB₁．
從而得 AB₁⊥平面A₁BC₁．                                                4分
設AB₁與A₁B相交于點O，則點O是線段AB₁的中點．
連接AC₁，由題意知△AB₁C₁是正三角形．
由AD，C₁O是△AB₁C₁的中線知：AD與C₁O的交點為重心G，連接OG．
知AB₁⊥平面A₁BC₁，故OG是AD在平面A₁BC₁上的射影，
于是∠AGO是AD與平面A₁BC₁所成的角．                                      6分
在直角△AOG中，AG＝AD＝AB₁＝AB， AO＝AB，
所以sin∠AGO＝＝．                                           10分
故∠AGO＝60°，即AD與平面A₁BC₁所成的角為60°．                       12分