Question

如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E為線段AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F為線段A′C的中點.

(1)求證:BF∥平面A′DE;
(2)設M為線段DE的中點,求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析  （2）

(1)證明:如圖所示,取A′D的中點G,連接GF,GE,

由條件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,
所以FG∥BE,FG=BE,
故四邊形BEGF為平行四邊形,所以BF∥EG.
因為EG?平面A′DE,BF?平面A′DE,
所以BF∥平面A′DE.
(2)解:在平行四邊形ABCD中,設BC=a,
則AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.
連接CE,因為∠ABC=120°,
在△BCE中,可得CE=a.
在△ADE中,可得DE=a.
在△CDE中,因為CD²=CE²+DE²,所以CE⊥DE.
在正三角形A′DE中,M為DE的中點,所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,
所以A′M⊥CE.
取A′E的中點N,連接NM,NF,
則NF∥CE.則NF⊥DE,NF⊥A′M.
因為DE交A′M于點M,所以NF⊥平面A′DE,
則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,
則cos∠FMN=,
所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為.