Question

如圖，幾何體中，四邊形為菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，為的中點，為的中點.

（1）求幾何體的體積；
（2）求證：為等腰直角三角形；
（3）求二面角的大小.

Answer 1

（1）幾何體的體積為；（2）詳見試題解析；（3）二面角的大小為．

試題分析：（1）將幾何體補成如圖的直四棱柱，利用計算幾何體的體積；（2）詳見試題解析；（3）取的中點，因為分別為的中點，所以∥，以分別為軸建立坐標系，利用法向量求二面角的大小．
試題解析：（1）將幾何體補成如圖的直四棱柱，則        3分

（2）連接，交于，因為四邊形為菱形，，所以．因為、都垂直于面,，又面∥面，所以四邊形為平行四邊形，則，因為、、都垂直于面,則，所以，所以為等腰直角三角形．           7分
（3）取的中點，因為分別為的中點，所以∥，以分別為軸建立坐標系，則，所以．平面為的中點，平面．由知二面角的大小為．二面角的大小為．
12分